# Conjugacy classes in semisimple algebraic groups by James E. Humphreys

By James E. Humphreys

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13) résulte aisément de la linéarité à gauche et à droite du produit scalaire. 14) Orthogonalité 55 et devient, lorsque x et y sont orthogonaux, le théorème de Pythagore: II x + y ||2 = II x ||2 + II y ||2. , x^) de plus de deux termes se fait par récurrence: II Xi + X2 + ... + x, ||2 = II x, ||2 + II X2 ||2 + ... + II x, ||2. 8 Projection orthogonale sur une droite vectorielle On appelle projection orthogonale d'un vecteur x sur la droite vectorielle engendrée par un vecteur non nul v, ou simplement projection orthogonale de x sur v, le vecteur projïx = ^v- w On remarquera que cette projection est l'unique vecteur av de la droite en question tel que x — av est orthogonal à v.

Evidemment, cet isomorphisme dépend de la base de E choisie. Il importe de noter qu'un espace vectoriel E de dimension n n'admet, en général, aucune base privilégiée, contrairement à ]R"; par conséquent, sauf si le choix d'une base de E a été fait, il faudra éviter de considérer E et ]R" comme identiques. 1 Introduction Dans cette section, nous reprenons l'étude des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel donné E et introduisons les notions de rang d'une famille finie de vecteurs, ainsi que celle de somme directe de sous-espaces vectoriels.

Y^.. , y^) est libre. 8 Soit (ei, e;, 63, e^) une base d'un espace vectoriel E de dimension 4. (a) Montrer que les vecteurs Y) = e, + e^ + 64, v^ = e, — e^ + 63 — 264 et V3 = — e ^ + e ^ — e ^ + e ^ sont linéairement indépendants. (b) Prolonger la famille (v,, v^, Vy) en une base de E. 9 Soit (e,, e^) une base d'un espace vectoriel E de dimension 2. Montrer que les familles de vecteurs (G) + e^, e^), (e^ + e^, e, — e^) et (ei, e^ + aei) (a. étant un nombre arbitraire) sont des bases de E. Calculer, en outre, les composantes de G] et e^ dans chacune de ces bases.