Conjugacy classes in semisimple algebraic groups by James E. Humphreys

By James E. Humphreys

The booklet presents an invaluable exposition of effects at the constitution of semisimple algebraic teams over an arbitrary algebraically closed box. After the basic paintings of Borel and Chevalley within the Nineteen Fifties and Nineteen Sixties, additional effects have been received over the subsequent thirty years on conjugacy sessions and centralizers of components of such teams

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13) résulte aisément de la linéarité à gauche et à droite du produit scalaire. 14) Orthogonalité 55 et devient, lorsque x et y sont orthogonaux, le théorème de Pythagore: II x + y ||2 = II x ||2 + II y ||2. , x^) de plus de deux termes se fait par récurrence: II Xi + X2 + ... + x, ||2 = II x, ||2 + II X2 ||2 + ... + II x, ||2. 8 Projection orthogonale sur une droite vectorielle On appelle projection orthogonale d'un vecteur x sur la droite vectorielle engendrée par un vecteur non nul v, ou simplement projection orthogonale de x sur v, le vecteur projïx = ^v- w On remarquera que cette projection est l'unique vecteur av de la droite en question tel que x — av est orthogonal à v.

Evidemment, cet isomorphisme dépend de la base de E choisie. Il importe de noter qu'un espace vectoriel E de dimension n n'admet, en général, aucune base privilégiée, contrairement à ]R"; par conséquent, sauf si le choix d'une base de E a été fait, il faudra éviter de considérer E et ]R" comme identiques. 1 Introduction Dans cette section, nous reprenons l'étude des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel donné E et introduisons les notions de rang d'une famille finie de vecteurs, ainsi que celle de somme directe de sous-espaces vectoriels.

Y^.. , y^) est libre. 8 Soit (ei, e;, 63, e^) une base d'un espace vectoriel E de dimension 4. (a) Montrer que les vecteurs Y) = e, + e^ + 64, v^ = e, — e^ + 63 — 264 et V3 = — e ^ + e ^ — e ^ + e ^ sont linéairement indépendants. (b) Prolonger la famille (v,, v^, Vy) en une base de E. 9 Soit (e,, e^) une base d'un espace vectoriel E de dimension 2. Montrer que les familles de vecteurs (G) + e^, e^), (e^ + e^, e, — e^) et (ei, e^ + aei) (a. étant un nombre arbitraire) sont des bases de E. Calculer, en outre, les composantes de G] et e^ dans chacune de ces bases.

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