Algebra (Lehrbuch) by Siegfried Bosch

By Siegfried Bosch

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie einführenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

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2/9 auf die Ringsituation, ¨ indem man Ringe statt Gruppen und Ideale statt Normalteiler betrachte. 4. Sei ϕ : R −→ R ein Ringhomomorphismus und x ∈ R . Man zeige: Es gibt genau einen Ringhomomorphismus Φ : R X −→ R mit Φ|R = ϕ und Φ(X) = x. Es entsprechen also die Ringhomomorphismen Φ : R X −→ R mit Φ|R = ϕ in bijektiver Weise den Elementen von R . 44 2. Ringe und Polynome 5. Sei R ein Integritatsring und Φ : R X −→ R X ein Ringhomomorphismus mit ¨ Φ|R = idR . Man zeige: Φ ist genau dann ein Automorphismus, wenn es a ∈ R∗ und b ∈ R gibt mit Φ(X) = aX + b.

Es ist daher angemessen, f (x) in diesem Falle als polynomiale Funktion auf C zu interpretieren. Probleme anderer Art ergeben sich, wenn man algebraische Gleichungen mit Koeffizienten aus einem endlichen K¨orper F betrachten mochte; vgl. 8 zur Definition solcher ¨ Korper. Besteht F etwa aus den Elementen x1 , . . , xq , so ist ¨ q (x − xj ) = xq + . . + (−1)q x1 . . xq g(x) = j=1 eine polynomiale Funktion, die auf ganz F verschwindet, obwohl ihre “Koeffizienten” nicht alle Null sind. Hieraus folgt, dass man je nach betrachtetem Definitionsbereich von der polynomialen Funktion f (x), die einer algebraischen Gleichung (∗) zugeordnet ist, nicht unbedingt auf die Koeffizienten der Gleichung (∗) zuruckschließen kann.

Es ist ublich, Primfaktorzerlegungen in faktoriellen Ringen R durch Zusam¨ menfassen assoziierter Primelemente zu Potenzen in der Form a = εpν11 . . pνrr zu schreiben, wobei ε eine Einheit ist. Formal besitzt dann jedes a ∈ R−{0} eine solche Primfaktorzerlegung (mit Exponenten νi = 0, wenn a Einheit ist). Um Primfaktorzerlegungen weiter zu standardisieren, kann man in R ein Vertretersystem P von Primelementen auswahlen, d. h. eine Teilmenge P bestehend ¨ aus Primelementen, so dass P aus jeder Klasse zueinander assoziierter Primelemente genau eines enthalt.

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